যারা বাগিয়ে নিলেন ফিল্ডস পদক ২০১৮: সংখ্যাতত্ত্বের জয়জয়কার

চার বছর পর পর চারজন গণিতবিদ বের হয় স্বীকৃতির মুকুটে। সংখ্যাতত্ত্ববিদ পিটার শোলজ ছিলেন জার্মানির সবচেয়ে কমবয়স্ক পূর্ণ অধ্যাপক। তখন তার বয়স মাত্র ২৪ বছর। আর জ্যামিতিবিদ কচের বীর্কার যে কিনা একজন কুর্দিশ শরনার্থী— গণিতের সবচেয়ে সম্মানজনক পুরষ্কার ফিল্ডস পদক বরণ করেছেন। আরো দুজন— ইতালির আলেসসিও ফিগাল্লি এবং ভারতীয় অক্ষয় ভেঙ্কটেশ যাদের কাজ যথাক্রমে নেটওয়ার্ক বিশ্লেষণ এবং সংখ্যাতত্ত্বের উপর। এই চারজনের নাম একে একে ধ্বনিত হয়েছে ব্রাজিলের রিও ডি জেনেরিওতে ইন্টারন্যাশনাল কংগ্রেস অব ম্যাথমেটিসিয়ান্সের উদ্বোধনী অনুষ্ঠানে।

ফিল্ডস পদক গণিতের শীর্ষ সম্মানজনক স্বীকৃতি যা ভূষিত করা হয় ৪০ বছর অনূর্ধ্ব ব্যক্তিদের গণিতে বিশেষ অবদানের জন্য; ছবি কৃতজ্ঞতা: Stefan Zachow

ফিল্ড পদক প্রদান করে ইন্টারন্যাশনাল ইউনিয়ন অব ম্যাথমেটিক্স। চার বছর পর পর কনফারেন্সে চারজন তরুণ গণিতবিদকে এই পুরষ্কারে সম্মানিত করা হয়। গণিতের পুরষ্কারে অবশ্য তরুণ বলতে সুনির্দিষ্ট করা রয়েছে— ৪০ বছরের অনুর্ধ্ব। এবারের চারজন একটি ইতিহাস ভাঙার ইতিহাস সৃষ্টি করেছেন। ১৯৩৬ থেকে সেই যে শুরু হয়েছে ফিল্ডস পদক— এই ৮২ বছরে প্রথমবারের মত কোনো আমেরিকান বা ফরাসি গণিতবিদ এবার পুরষ্কার পাননি! এই দুই দেশ মিলে ফিল্ডসের প্রায় অর্ধেক পদক বাগিয়ে বসে আছে। বিজ্ঞান ও গণিতের যুগলের যুগ্মজয়ীর উদাহরণ বুঝি এরাই! আর অদ্যাবধি ৬০ জন পদকজয়ীর মধ্যে সবেধন একমাত্র নারী ২০১৪ এর বিজয়ী মারিয়াম মির্জাখানি।

ইউনিভার্সিটি অব বন, জার্মানিতে পিটার শোলজ। ছবি কৃতজ্ঞতা: Nyani Quarmyne

পিটার শোলজ যে এ বছর ফিল্ডস জিততে যাচ্ছেন এ ব্যাপারে কারও সন্দেহ ছিল না বললেই চলে। বরং হিসেবটা ছিল শোলজের সাথে আর কোন তিনজন এবার এতে ভূষিত হতে যাচ্ছেন? গণিত সম্প্রদায়ের মধ্যে এ প্রশ্ন প্রায়ই শোনা যেত কবে শোলজের নাম শোনা যাবে। ৩০ বছর বয়সী শোলজ বিখ্যাত হয়ে গিয়েছিলেন ২২ বছরেই। তখন তিনি গ্রাজুয়েট শিক্ষার্থী, পাটিগণিতীয় জ্যামিতির একটি বই-সম আকার প্রমাণকে অনেক সংক্ষেপে প্রমাণ করার উপায় বের করে ফেলেন। পাটিগণিতীয় জ্যামিতি বলতে গণিতের যে শাখাকে বোঝায় তা হল বীজগণিতীয় জ্যামিতি আর সংখ্যাতত্ত্বের মাঝামাঝি অবস্থান করে। তখনই তিনি জিতে নেন শাস্ত্র রামানুজন পুরষ্কার

শোলজের অধিকাংশ কাজ সংযুক্ত সংখায়তত্ত্বের সাথে যেগুলো মৌলিক সংখ্যার গবেষণা নিহিত। তিনি ফ্র্যাক্টালের মত কাঠামো নিয়ে পারফেক্টয়েড স্পেসের উপর কাজ করেন। সোজা কথায় একাজ জ্যামিতি এবং টপোগণিতের মধ্যকার বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের জন্য উপযোগী।

শোলজ বর্তমানে এবিসি কনজেকচারের উপর একটি ঢাউশ আকার প্রমাণ যাচাই করছেন। এবিসি কনজেকচার সংখ্যাতত্ত্বের একটি অন্যতম বড়  অসমাধিত কনজেকচার। কনজেকচার হল গাণিতিক অনুমান। এবিসি কনজেকচারটি তিনটি সহমৌলিক সংখ্যার সম্পর্ক বর্ণনা করে যেখানে A+B=C এবং এর তৃতীয় সংখ্যার (C) উৎপাদকের ঘাত প্রথম দুটি সংখ্যার (A এবং B) উৎপাদকের ঘাতের চেয়ে কম হবে। ২০১২ তে শিনিচি মচিজুকি এই কনজেকচারের একটি প্রমাণ প্রকাশ করেন অনলাইনে কিন্তু কেউ নিশ্চিতভাবে এটাকে যাচাই করতে পারেন নি প্রমাণটি সিদ্ধ কিনা। শোলজ এবং তার সহকর্মীরা এই প্রমাণে তাৎপর্যপূর্ণ ত্রুটি পেয়েছেন বলে মনে করছেন। শোলজ ইউনিভার্সিটি অব বনের অধ্যাপক হিসেবে কর্মরত আছেন। একই সাথে তিনি বন শহরেরই ম্যাক্স-প্ল্যাঙ্ক ইনস্টিটিউট ফর ম্যাথমেটিক্সের পরিচালনা করছেন।

কচের বীর্কারের, বয়স ৪০ বছর। তিনি মূলত কুর্দিশ, তার জন্ম ১৯৭৮ এ ইরানের দক্ষিণাঞ্চলে। ৮০’র দশকে ইরাক-ইরান যুদ্ধের মাঝে বেড়ে উঠেছেন বীর্কার। তার বাবা-মা ছিল কৃষক-কৃষাণী। সে কারণে তাকেও বেশ দীর্ঘ একটা সময় চাষাবাদ করে কাটাতে হয়েছে। বহু দিক থেকে হিসেব করেও এমন পরিবেশ একটা বাচ্চার গণিতে আগ্রহের জন্য অনুপ্রেরণার ছিল না।

বীর্কার পড়াশোনা করেছেন ইউনিভার্সিটি অব তেহরানে। ২০০০ সালে তিনি ইন্টারন্যাশনাল ম্যাথমেটিক্স কম্পিটিশন ফর ইউনিভার্সিটি স্টুডেন্টসে তৃতীয় হন। এর পরপরই ইরান থেকে যুক্তরাজ্যে গিয়ে রাজনৈতিক আশ্রয় পেয়েছেন। ২০০১-২০০৪ এ পিএইচডি সম্পন্ন করেন ইউনিভার্সিটি অব নটিংহ্যাম থেকে। তিনি বর্তমানে কর্মরত রয়েছেন ইউনিভার্সিটির ক্যামব্রিজের অধ্যাপক হিসেবে।

কচের বীর্কার ছোট্ট থাই ড্রামে তুলছেন কুর্দিশ তাল, নিজে নিজেই শিখেছেন। ছবিটি তোলা হয়েছে তার ক্যামব্রিজের বাসায়। ছবি কৃতজ্ঞতা: Philipp Ammon

তিনি ফিল্ডস পেয়েছেন বীজগাণিতিক প্রকরণের শ্রেণীবিন্যাসে বিরাট সাফল্য অর্জন করেছেন বলে। বহুপদী সমীকরণ থেকে জ্যামিতিক বস্তু বর্ণনার কাজই এর বিষয়বস্তু। একটা বহুপদী সমীকরণের উদাহরণ: y = x^2. পদকের ব্যাপারে তিনি নিজের অর্জনকে মনে করেন ৪ কোটি কুর্দির ঠোঁটের কোণে একটু হাসি। নিজ দেশ, মাতৃভূমি ছেড়ে পরদেশে অভিবাসী হিসেবে থাকা যে পরম সুখের নয় তার নাম থেকেই সেটা স্পষ্ট। তার আসল নাম ছিল ফারিইদুউন দারাখশানি। অভিবাসী হয়ে নাম গ্রহণ করেন ‘কুচের বীর্কার’ যে কুর্দিশ শব্দের অর্থ অভিবাসী গণিতবিদ।

৩৬ বছর বয়সী অক্ষয় ভেঙ্কটেশ কাজ করেন সংখ্যাতত্ত্বের চিরায়ত সমস্যাগুলোর উপর। সংখ্যাপদ্ধতি কিভাবে কাজ করে এবং সংখ্যার মূলসমূহ নিয়েও, যেমন- একটি মূলের উদাহরণ √2। তিনি হাতেগোনা অল্প কজন গণিতবিদের মধ্যে একজন যারা কার্ল ফ্রিডরিখ গাউসের করা প্রশ্নের উপর বলিষ্ঠ উন্নয়ন করেছেন। ভেঙ্কটেশের জন্ম ভারতের নয়াদিল্লীতে। অবশ্য বেড়ে উঠেছেন অস্ট্রেলিয়ায়, বর্তমানে কাজ করছেন ইন্সটিটিউট ফর এডভান্সড স্টাডি ইন প্রিন্সটন, নিউ জার্সিতে।

উক্ত তিনজনের কাজ বলতে গেলে পুরোদস্তুর সংখ্যার বিমূর্ত জগতের সাথে। সে তুলনায় এ বছরের অপর ফিল্ডস পদকজয়ী ৩৪ বছর বয়স্ক আলেসসিও ফিগাল্লি কাজ করেন বাস্তব জগতের কাছাকাছি বিষয়ে— অপ্টিমাল ট্রান্সপোর্ট। অর্থাৎ কোনো পরিবহন বা যোগাযোগের ক্ষেত্রে সর্বোত্তম সমাধান কী হতে পারে সেটা বের করা। অর্থাৎ একটা নেটওয়ার্ক ব্যবস্থা নিয়ে কাজ করা। ফিগাল্লি এটি আংশিক ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণে প্রয়োগ করেন। এ ধরণের সমীকরণ কয়েক একাধিক চলক নিয়ে কাজ করে এবং পদার্থবিজ্ঞানের সাথে অধিক সম্পর্কিত এ ক্ষেত্র। ফিগাল্লির জাতীয়তা ইতালিয়, তিনি কর্মরত জুরিখের সুইস পলিটেকনিক ইনস্টিটিউটে।

 

সায়েন্টিফিক আমেরিকানকোয়ান্টা ম্যাগাজিন অবলম্বনে।

মহাজগতের জ্যামিতি

মহাবিশ্বের আকার সম্পর্কে যুগে যুগে প্রচলিত রূপকথার সংখ্যা নেহাৎ কম নয়। কখনো হাতির মাথায় থাকা পৃথিবী, কখনো কচ্ছপের পিঠে থাকা, কখনো বা বিরাট পানির আধারে ডুবে থাকার গল্প প্রচলিত ছিল প্রাচীন যুগের মানুষদের মাঝে। গ্রীকরা মনে করতো, মাথার উপর আকাশের শেষ প্রান্তে আছে এক গুহা, যেখানে দেবতা জিউসের তেজী ঘোড়াগুলো থাকতো। সকালে ঘোড়াগুলো আকাশের একপ্রান্ত থেকে অন্যপ্রান্তে দৌড়ে যেত, তাই পৃথিবী আলোয় ভরে যেত। কয়েক শতাব্দী আগ পর্যন্তও মানুষের ধারণা ছিল,

মহাবিশ্ব মানে বোধহয় সৌরজগতটাই। কিন্তু যখনই মানুষ জানলো সৌরজগত আসলে মহাবিশ্বের ক্ষুদ্র অংশ, তখন থেকেই প্রশ্ন জমতে লাগলো, মহাজগত কী আকারে সসীম হতে পারে? যদি তা হয়, তাহলে মহাবিশ্বের শেষ কোথায়? দুটি প্রশ্নই এক বিন্দুতে গিয়ে মিলে- ‘মহাবিশ্বের আকার আসলে কেমন?’

এ প্রশ্নের উত্তর দেয়ার আগে আগে জেনে নেয়া উচিৎ তলের বক্রতা (ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা সমতল) এবং মহাবিশ্বের কিছু বিশেষ বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে। যেমন, এর উপাদানগুলো কীভাবে একে অন্যের সাথে যুক্ত। গোলকাকৃতির পৃষ্ঠের বক্রতা হলো ধনাত্মক বক্রতা। পাম্পে ফুলানো একটা চাকার ভেতরের দিকটা হলো ঋণাত্মক বক্রতা বিশিষ্ট। যেহেতু আমরা মহাবিশ্বের গঠন সম্পর্কে জানি না, কাজেই এর সম্ভাব্য অনেক আকৃতিই আমরা ধরে নিতে পারি- গোলকাকৃতি, সিলিন্ডার আকৃতি, ঘনকাকৃতি অথবা অনির্দিষ্ট সংখ্যক বিন্যাস বিশিষ্ট ভুজ আকৃতি বা বিভিন্ন বক্রতল ও মোচড়বিশিষ্ট আকৃতি, কিংবা এমন কোনো অনির্দিষ্ট আকৃতি যার কোনো বিপরীত তল নেই।

প্রথমে আমরা আমাদের পরিচিত তিনটি আকৃতি নিয়ে চিন্তা করি। এই তিনটি আকৃতি হলো সমতল আকৃতি (flat shape), গোলকীয় আকৃতি (spherical shape) এবং বক্রতলীয় আকৃতি (hyperbolic shape)।

তলগুলোর বৈশিষ্ট্য বোঝার আগে একটি বিশেষ ধরনের জ্যামিতির সাথে পরিচিত হওয়া প্রয়োজন। এটি হলো রেইম্যানের জ্যামিতি (Reiman’s Geometry)। আমরা সাধারণত যে জ্যামিতিক আকৃতিগুলো নিয়ে আলোচনা করি, যেমন ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বৃত্ত বা সরলরেখা, তার সবই কিন্তু আলোচনা করা হয় সমতল ক্ষেত্রের সাপেক্ষে। এটি আসলে ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতি। কিন্তু যদি ক্ষেত্রটি গোলকীয় বা বক্রতল হয়? এটিই হচ্ছে অমর গণিতবিদ গাউসের সুযোগ্য ছাত্র রেইম্যানের কীর্তি!

রেইম্যান প্রথম গাণিতিকভাবে প্রমাণ করেন, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি গোলকীয় পৃষ্ঠে দুই সমকোণের চেয়ে বেশি এবং বক্রতলীয় ক্ষেত্রে দুই সমকোণের চেয়ে কম হবে। তিনি এটাও বলেন যে, গোলক বা বক্রপৃষ্ঠে দুটি বিন্দুর মধ্যে সর্বনিম্ন দূরত্ব হবে একটি বক্ররেখা। খটকা লাগতে পারে, কেননা প্রচলিত জ্যামিতিতে আমরা জানি দুটি বিন্দুর সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো সরলরেখা। কিন্তু সরলরেখা কল্পনা করলে তো সেটা সমতল ক্ষেত্রে চলে যায়, কাজেই সেটা ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির আওতাধীন হয়ে যায়। রেইম্যান জ্যামিতি থেকে আরও দেখা যায়, সমতল ক্ষেত্রের দুটি সমান্তরাল রেখাকে যদি গোলকীয় ক্ষেত্রে নিয়ে যাওয়া হয় তাহলে তারা একসময় নিজেদের ছেদ করবে। আবার বক্রতলে নিয়ে যাওয়া হলে তারা পরস্পর থেকে দূরে সরে যাবে।

এখন দেখা যাক কোন আকৃতিতে মহাবিশ্ব কেমন হওয়ার কথা। আমরা জানি, মহাবিশ্বের প্রতিটি বস্তুকণা একে অপরকে আকর্ষণ করছে। সে হিসেবে একটা নির্দিষ্ট সময় পর সব বস্তুই আবার একীভূত হয়ে যাওয়ার কথা। এখন যদি মহাবিশ্ব সমতল হয়, তবে সেক্ষেত্রে বলা যায় মহাবিশ্ব একটি নির্দিষ্ট সীমা পর্যন্ত সমতলভাবে বিস্তৃত হবে এবং এক পর্যায়ে আবার একটি বিন্দুর দিকে ফিরে আসবে।

কিন্তু সেক্ষেত্রে একটি প্রশ্ন থেকেই যায়। মহাবিশ্ব সমতল হতে গেলে মহাবিশ্বের সর্বত্র শক্তিঘনত্ব এক হওয়া প্রয়োজন। যেমন, কাগজের উপর ছড়িয়ে থাকা লোহার গুঁড়ার কাছাকাছি যদি দুটি ভিন্ন শক্তির চুম্বক রাখা হয়, তাহলে দেখা যাবে লোহার গুঁড়াগুলো যে তলে বিন্যস্ত হয়েছে সেটা সমতল থাকে না। মহাবিশ্বের

সব বস্তুর ঘনত্ব সমান নয়, এ কারণে তাদের শক্তি ঘনত্বেরও তারতম্য ঘটে। মহাবিশ্বের ঘনত্ব নির্ণয়ের একটা সুন্দর নাম আছে- Density Parameter। সমতল ভূমির ক্ষেত্রে এর মান হওয়ার কথা ১, অর্থাৎ কোনো একটাকে আদর্শ ধরে নিলে তার তুলনায় অন্য সবারই এই মান একই হবে। কিন্তু এটা সত্য নয়, কাজেই বলে দেয়া যায় মহাবিশ্ব সমতল নয়।

এবার আসি ‘মহাবিশ্ব গোলকাকার’ এ ধারণায়। প্রাকৃতিকভাবে আমরা দেখি, সব তরল বা গ্যাসই চেষ্টা করে গোলকীয় অবস্থায় থাকতে। এর কারণ, তরল বা গ্যাসের প্রতিটি ফোঁটায় যে অণু আছে তাদের মধ্যবর্তী আকর্ষণ বল তাদের ছড়িয়ে পড়ার জন্য প্রয়োজনীয় বলের চেয়ে বেশি। সেক্ষেত্রে, মহাবিশ্ব সসীম হওয়ার কথা কিন্তু তার কোনো শেষ আমরা বের করতে পারবো না। যেমন একটা ফুটবলের ক্ষেত্রে আমরা বলতে পারি না কোনো বিন্দুতে তার শুরু এবং কোনো বিন্দুতে শেষ।

তবে এখানেও প্রশ্ন থেকেই যায়। আমরা জানি, মহাবিশ্ব এখনো প্রসারিত হচ্ছে এবং এ প্রসারণের হার ক্রমশ বেড়েই চলেছে। কিন্তু মহাবিশ্ব যদি গোলকাকৃতির হয় তবে এই প্রসারণের হার বাড়া তো সম্ভব নয়, কেননা এই প্রসারণকে অতিক্রম করেই তো গোলক হতে হবে! রেইম্যানের জ্যামিতি থেকেও দেখা যায়, ধনাত্মক বক্রতার কোনো পৃষ্ঠে যেকোনো বল কেন্দ্রের দিকেই বেশি ক্রিয়াশীল হয়, ফলে Density Parameter এর মান ১ এর বেশি হয়। তাহলে মহাবিশ্বের প্রসারণ কমতে কমতে একসময় শূন্য এবং তারপর সংকোচন শুরু হওয়ার কথা, প্রসারণের মাত্রা বাড়া কোনোভাবেই সম্ভব নয়।

তাহলে শেষ আর একটি প্রকৃতিই বাকি থাকলো, ঋণাত্মক বক্রতাবিশিষ্ট ক্ষেত্র অর্থাৎ Hyperbolic Space। হাইপারবোলিক স্পেস এ Density Parameter এর মান ০ থেকে ১ এর মধ্যে হয়। কাজেই দেখা যাচ্ছে, ‘মহাবিশ্বের সর্বত্র শক্তি ঘনত্ব সমান নয়’-এই তত্ত্ব একমাত্র হাইপারবোলিক স্পেসের ক্ষেত্রেই সম্ভব। তাছাড়া রেইম্যান জ্যামিতি থেকে দেখা যায়, একমাত্র ঋণাত্মক বক্রতাবিশিষ্ট ক্ষেত্রেই দুটি বস্তুর দূরে সরে যাওয়ার মাত্রা ক্রমশ বৃদ্ধি পেতে পারে।

তবে এই প্রশ্নের উত্তর যে এখানেই শেষ, তা বলা যায় না। অনেক বিজ্ঞানীই মনে করেন, মহাবিশ্ব সমতল ক্ষেত্রের উপর বিস্তৃত। এর সপক্ষে তারা উপস্থাপন করেন অ্যানিসোট্রপিক স্পেকট্রাম থেকে প্রাপ্ত মহাজাগতিক পরিব্যাপন এর চিত্র। যা দেখে কিছুটা মনে হয়, মহাবিশ্ব সম্ভবত সমতল।

চিত্রঃ অ্যানিসোট্রপিক স্পেকট্রাম থেকে প্রাপ্ত মহাজাগতিক পরিব্যাপন।

আরেকটা প্রশ্ন এখনো বাকি, মহাবিশ্বের শেষ কোথায়? এ প্রশ্নের কোনো জোর উত্তর বিজ্ঞানীরা আজও দিতে পারেননি। তবে রেইম্যানের জ্যামিতি থেকে বিজ্ঞানীরা এ সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছেন, মহাবিশ্বের মাত্রা যদি তিনটির চেয়ে বেশি হয়, তবে এর সঠিক আকৃতি আমাদের তিন মাত্রার কল্পনা দিয়ে নির্ণয় করা সম্ভব নয়। যেমনঃ দ্বিমাত্রিক কাগজের পৃষ্ঠের উপর চলমান একটি পিঁপড়া তার তলের শুরু এবং শেষ বুঝতে পারবে। কিন্তু যদি সেই কাগজ পেঁচিয়ে ত্রিমাত্রিক সিলিন্ডার বানানো হয়, তবে পিঁপড়া সেই সিলিন্ডারের কোনো আদি-অন্ত খুঁজে পাবে না। অধুনা প্রতিষ্ঠিত ‘স্ট্রিং থিওরি’র অন্যতম বিজ্ঞানী জাপানের মিচিও কাকু গাণিতিকভাবে দেখিয়েছেন, মহাবিশ্ব দশ মাত্রার। আমাদের দৃশ্যমান তিনটি মাত্রা ছাড়া অন্য

মাত্রাগুলো এতই সূক্ষ্ম যে আমরা সেগুলো বুঝতে পারি না। যেমন, ত্রিমাত্রিক লোহার টুকরোকে সুক্ষ্ম করতে করতে যদি পাতে পরিণত করা হয়, তবে সেটা আমাদের কাছে দ্বিমাত্রিকই মনে হয়।

যা হোক, স্ট্রিং থিওরীর বিজ্ঞানীরা মনে করেন, এ দশ মাত্রাকে গাণিতিক সমীকরণের আওতায় আনতে পারলেই মহাবিশ্বের আকৃতি ও এর সীমা সম্পর্কে চূড়ান্ত সিদ্ধান্তে আসা যাবে। মানুষের জ্ঞান যত বিস্তৃত হচ্ছে, মহাবিশ্বই ততই হয়ে উঠছে রহস্যময়!

তথ্যসূত্র

১. জেমস সমবার্ট, ইউনিভার্সিটি অব ওরেগনঃ http://abyss.uoregon.edu/~js/cosmo/lectures/lec15.html

২. ইউনিভার্সিটি অব টেনেসিঃ http://csep10.phys.utk.edu/astr162/lect/cosmology/geometry.html

৩. প্রফেসর বারবারা রীডেন, ওহাইয়ো স্টেট ইউনিভার্সিটিঃ http://www.astronomy.ohio-state.edu/~ryden/ast162_9/notes40.html

৪. স্ট্রীং থিওরি, লেখকঃ হিমাংশু কর

মহাজগতের জ্যামিতি

মহাবিশ্বের আকার সম্পর্কে যুগে যুগে প্রচলিত রূপকথার সংখ্যা নেহাৎ কম নয়। কখনো হাতির মাথায় থাকা পৃথিবী, কখনো কচ্ছপের পিঠে থাকা, কখনো বা বিরাট পানির আধারে ডুবে থাকার গল্প প্রচলিত ছিল প্রাচীন যুগের মানুষদের মাঝে। গ্রীকরা মনে করতো, মাথার উপর আকাশের শেষ প্রান্তে আছে এক গুহা, যেখানে দেবতা জিউসের তেজী ঘোড়াগুলো থাকতো। সকালে ঘোড়াগুলো আকাশের একপ্রান্ত থেকে অন্যপ্রান্তে দৌড়ে যেত, তাই পৃথিবী আলোয় ভরে যেত। কয়েক শতাব্দী আগ পর্যন্তও মানুষের ধারণা ছিল,

মহাবিশ্ব মানে বোধহয় সৌরজগতটাই। কিন্তু যখনই মানুষ জানলো সৌরজগত আসলে মহাবিশ্বের ক্ষুদ্র অংশ, তখন থেকেই প্রশ্ন জমতে লাগলো, মহাজগত কী আকারে সসীম হতে পারে? যদি তা হয়, তাহলে মহাবিশ্বের শেষ কোথায়? দুটি প্রশ্নই এক বিন্দুতে গিয়ে মিলে- ‘মহাবিশ্বের আকার আসলে কেমন?’

এ প্রশ্নের উত্তর দেয়ার আগে আগে জেনে নেয়া উচিৎ তলের বক্রতা (ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা সমতল) এবং মহাবিশ্বের কিছু বিশেষ বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে। যেমন, এর উপাদানগুলো কীভাবে একে অন্যের সাথে যুক্ত। গোলকাকৃতির পৃষ্ঠের বক্রতা হলো ধনাত্মক বক্রতা। পাম্পে ফুলানো একটা চাকার ভেতরের দিকটা হলো ঋণাত্মক বক্রতা বিশিষ্ট। যেহেতু আমরা মহাবিশ্বের গঠন সম্পর্কে জানি না, কাজেই এর সম্ভাব্য অনেক আকৃতিই আমরা ধরে নিতে পারি- গোলকাকৃতি, সিলিন্ডার আকৃতি, ঘনকাকৃতি অথবা অনির্দিষ্ট সংখ্যক বিন্যাস বিশিষ্ট ভুজ আকৃতি বা বিভিন্ন বক্রতল ও মোচড়বিশিষ্ট আকৃতি, কিংবা এমন কোনো অনির্দিষ্ট আকৃতি যার কোনো বিপরীত তল নেই।

প্রথমে আমরা আমাদের পরিচিত তিনটি আকৃতি নিয়ে চিন্তা করি। এই তিনটি আকৃতি হলো সমতল আকৃতি (flat shape), গোলকীয় আকৃতি (spherical shape) এবং বক্রতলীয় আকৃতি (hyperbolic shape)।

তলগুলোর বৈশিষ্ট্য বোঝার আগে একটি বিশেষ ধরনের জ্যামিতির সাথে পরিচিত হওয়া প্রয়োজন। এটি হলো রেইম্যানের জ্যামিতি (Reiman’s Geometry)। আমরা সাধারণত যে জ্যামিতিক আকৃতিগুলো নিয়ে আলোচনা করি, যেমন ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বৃত্ত বা সরলরেখা, তার সবই কিন্তু আলোচনা করা হয় সমতল ক্ষেত্রের সাপেক্ষে। এটি আসলে ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতি। কিন্তু যদি ক্ষেত্রটি গোলকীয় বা বক্রতল হয়? এটিই হচ্ছে অমর গণিতবিদ গাউসের সুযোগ্য ছাত্র রেইম্যানের কীর্তি!

রেইম্যান প্রথম গাণিতিকভাবে প্রমাণ করেন, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি গোলকীয় পৃষ্ঠে দুই সমকোণের চেয়ে বেশি এবং বক্রতলীয় ক্ষেত্রে দুই সমকোণের চেয়ে কম হবে। তিনি এটাও বলেন যে, গোলক বা বক্রপৃষ্ঠে দুটি বিন্দুর মধ্যে সর্বনিম্ন দূরত্ব হবে একটি বক্ররেখা। খটকা লাগতে পারে, কেননা প্রচলিত জ্যামিতিতে আমরা জানি দুটি বিন্দুর সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো সরলরেখা। কিন্তু সরলরেখা কল্পনা করলে তো সেটা সমতল ক্ষেত্রে চলে যায়, কাজেই সেটা ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির আওতাধীন হয়ে যায়। রেইম্যান জ্যামিতি থেকে আরও দেখা যায়, সমতল ক্ষেত্রের দুটি সমান্তরাল রেখাকে যদি গোলকীয় ক্ষেত্রে নিয়ে যাওয়া হয় তাহলে তারা একসময় নিজেদের ছেদ করবে। আবার বক্রতলে নিয়ে যাওয়া হলে তারা পরস্পর থেকে দূরে সরে যাবে।

এখন দেখা যাক কোন আকৃতিতে মহাবিশ্ব কেমন হওয়ার কথা। আমরা জানি, মহাবিশ্বের প্রতিটি বস্তুকণা একে অপরকে আকর্ষণ করছে। সে হিসেবে একটা নির্দিষ্ট সময় পর সব বস্তুই আবার একীভূত হয়ে যাওয়ার কথা। এখন যদি মহাবিশ্ব সমতল হয়, তবে সেক্ষেত্রে বলা যায় মহাবিশ্ব একটি নির্দিষ্ট সীমা পর্যন্ত সমতলভাবে বিস্তৃত হবে এবং এক পর্যায়ে আবার একটি বিন্দুর দিকে ফিরে আসবে।

কিন্তু সেক্ষেত্রে একটি প্রশ্ন থেকেই যায়। মহাবিশ্ব সমতল হতে গেলে মহাবিশ্বের সর্বত্র শক্তিঘনত্ব এক হওয়া প্রয়োজন। যেমন, কাগজের উপর ছড়িয়ে থাকা লোহার গুঁড়ার কাছাকাছি যদি দুটি ভিন্ন শক্তির চুম্বক রাখা হয়, তাহলে দেখা যাবে লোহার গুঁড়াগুলো যে তলে বিন্যস্ত হয়েছে সেটা সমতল থাকে না। মহাবিশ্বের

সব বস্তুর ঘনত্ব সমান নয়, এ কারণে তাদের শক্তি ঘনত্বেরও তারতম্য ঘটে। মহাবিশ্বের ঘনত্ব নির্ণয়ের একটা সুন্দর নাম আছে- Density Parameter। সমতল ভূমির ক্ষেত্রে এর মান হওয়ার কথা ১, অর্থাৎ কোনো একটাকে আদর্শ ধরে নিলে তার তুলনায় অন্য সবারই এই মান একই হবে। কিন্তু এটা সত্য নয়, কাজেই বলে দেয়া যায় মহাবিশ্ব সমতল নয়।

এবার আসি ‘মহাবিশ্ব গোলকাকার’ এ ধারণায়। প্রাকৃতিকভাবে আমরা দেখি, সব তরল বা গ্যাসই চেষ্টা করে গোলকীয় অবস্থায় থাকতে। এর কারণ, তরল বা গ্যাসের প্রতিটি ফোঁটায় যে অণু আছে তাদের মধ্যবর্তী আকর্ষণ বল তাদের ছড়িয়ে পড়ার জন্য প্রয়োজনীয় বলের চেয়ে বেশি। সেক্ষেত্রে, মহাবিশ্ব সসীম হওয়ার কথা কিন্তু তার কোনো শেষ আমরা বের করতে পারবো না। যেমন একটা ফুটবলের ক্ষেত্রে আমরা বলতে পারি না কোনো বিন্দুতে তার শুরু এবং কোনো বিন্দুতে শেষ।

তবে এখানেও প্রশ্ন থেকেই যায়। আমরা জানি, মহাবিশ্ব এখনো প্রসারিত হচ্ছে এবং এ প্রসারণের হার ক্রমশ বেড়েই চলেছে। কিন্তু মহাবিশ্ব যদি গোলকাকৃতির হয় তবে এই প্রসারণের হার বাড়া তো সম্ভব নয়, কেননা এই প্রসারণকে অতিক্রম করেই তো গোলক হতে হবে! রেইম্যানের জ্যামিতি থেকেও দেখা যায়, ধনাত্মক বক্রতার কোনো পৃষ্ঠে যেকোনো বল কেন্দ্রের দিকেই বেশি ক্রিয়াশীল হয়, ফলে Density Parameter এর মান ১ এর বেশি হয়। তাহলে মহাবিশ্বের প্রসারণ কমতে কমতে একসময় শূন্য এবং তারপর সংকোচন শুরু হওয়ার কথা, প্রসারণের মাত্রা বাড়া কোনোভাবেই সম্ভব নয়।

তাহলে শেষ আর একটি প্রকৃতিই বাকি থাকলো, ঋণাত্মক বক্রতাবিশিষ্ট ক্ষেত্র অর্থাৎ Hyperbolic Space। হাইপারবোলিক স্পেস এ Density Parameter এর মান ০ থেকে ১ এর মধ্যে হয়। কাজেই দেখা যাচ্ছে, ‘মহাবিশ্বের সর্বত্র শক্তি ঘনত্ব সমান নয়’-এই তত্ত্ব একমাত্র হাইপারবোলিক স্পেসের ক্ষেত্রেই সম্ভব। তাছাড়া রেইম্যান জ্যামিতি থেকে দেখা যায়, একমাত্র ঋণাত্মক বক্রতাবিশিষ্ট ক্ষেত্রেই দুটি বস্তুর দূরে সরে যাওয়ার মাত্রা ক্রমশ বৃদ্ধি পেতে পারে।

তবে এই প্রশ্নের উত্তর যে এখানেই শেষ, তা বলা যায় না। অনেক বিজ্ঞানীই মনে করেন, মহাবিশ্ব সমতল ক্ষেত্রের উপর বিস্তৃত। এর সপক্ষে তারা উপস্থাপন করেন অ্যানিসোট্রপিক স্পেকট্রাম থেকে প্রাপ্ত মহাজাগতিক পরিব্যাপন এর চিত্র। যা দেখে কিছুটা মনে হয়, মহাবিশ্ব সম্ভবত সমতল।

চিত্রঃ অ্যানিসোট্রপিক স্পেকট্রাম থেকে প্রাপ্ত মহাজাগতিক পরিব্যাপন।

আরেকটা প্রশ্ন এখনো বাকি, মহাবিশ্বের শেষ কোথায়? এ প্রশ্নের কোনো জোর উত্তর বিজ্ঞানীরা আজও দিতে পারেননি। তবে রেইম্যানের জ্যামিতি থেকে বিজ্ঞানীরা এ সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছেন, মহাবিশ্বের মাত্রা যদি তিনটির চেয়ে বেশি হয়, তবে এর সঠিক আকৃতি আমাদের তিন মাত্রার কল্পনা দিয়ে নির্ণয় করা সম্ভব নয়। যেমনঃ দ্বিমাত্রিক কাগজের পৃষ্ঠের উপর চলমান একটি পিঁপড়া তার তলের শুরু এবং শেষ বুঝতে পারবে। কিন্তু যদি সেই কাগজ পেঁচিয়ে ত্রিমাত্রিক সিলিন্ডার বানানো হয়, তবে পিঁপড়া সেই সিলিন্ডারের কোনো আদি-অন্ত খুঁজে পাবে না। অধুনা প্রতিষ্ঠিত ‘স্ট্রিং থিওরি’র অন্যতম বিজ্ঞানী জাপানের মিচিও কাকু গাণিতিকভাবে দেখিয়েছেন, মহাবিশ্ব দশ মাত্রার। আমাদের দৃশ্যমান তিনটি মাত্রা ছাড়া অন্য

মাত্রাগুলো এতই সূক্ষ্ম যে আমরা সেগুলো বুঝতে পারি না। যেমন, ত্রিমাত্রিক লোহার টুকরোকে সুক্ষ্ম করতে করতে যদি পাতে পরিণত করা হয়, তবে সেটা আমাদের কাছে দ্বিমাত্রিকই মনে হয়।

যা হোক, স্ট্রিং থিওরীর বিজ্ঞানীরা মনে করেন, এ দশ মাত্রাকে গাণিতিক সমীকরণের আওতায় আনতে পারলেই মহাবিশ্বের আকৃতি ও এর সীমা সম্পর্কে চূড়ান্ত সিদ্ধান্তে আসা যাবে। মানুষের জ্ঞান যত বিস্তৃত হচ্ছে, মহাবিশ্বই ততই হয়ে উঠছে রহস্যময়!

তথ্যসূত্র

১. জেমস সমবার্ট, ইউনিভার্সিটি অব ওরেগনঃ http://abyss.uoregon.edu/~js/cosmo/lectures/lec15.html

২. ইউনিভার্সিটি অব টেনেসিঃ http://csep10.phys.utk.edu/astr162/lect/cosmology/geometry.html

৩. প্রফেসর বারবারা রীডেন, ওহাইয়ো স্টেট ইউনিভার্সিটিঃ http://www.astronomy.ohio-state.edu/~ryden/ast162_9/notes40.html

৪. স্ট্রীং থিওরি, লেখকঃ হিমাংশু কর